Représentation P

En mécanique quantique et dans un espace à une dimension, la représentation P ou réalisation-P est la représentation dans laquelle l'opérateur d'impulsion ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{x}}$ appliqué au vecteur propre de cette représentation s'écrit :

${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{x}\left|p_{x}\right\rangle =p_{x}\left|p_{x}\right\rangle }$

Comme l'opérateur ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{x}}$ est hermitien, on peut montrer pour un vecteur d'état que :

${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{x}\left|\psi \right\rangle =p_{x}\left|\psi \right\rangle }$

Dans cette représentation, l'opérateur de position ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} }$ dans l'espace à une dimension est tel que :

${\displaystyle \langle p_{x}|\mathbf {\hat {x}} \left|\psi \right\rangle =\langle p_{x}|i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle }$

Ce qui se réécrit de façon allégée dans la littérature :

${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} \left|\psi \right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle }$

Il faut distinguer cette représentation de la représentation X dans laquelle l'opérateur de position s'écrit simplement ${\displaystyle x}$.

Commutateur [X,P]

Le commutateur de ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ et ${\displaystyle \mathbf {{\hat {p}}_{x}} }$ est défini par :

${\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]={\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {{\hat {p}}_{x}} -\mathbf {{\hat {p}}_{x}} {\hat {\mathbf {x} }}}$

On peut calculer sa valeur en l'appliquant à un vecteur d'état :

${\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle ={\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {{\hat {p}}_{x}} \left|\psi \right\rangle -\mathbf {{\hat {p}}_{x}} {\hat {\mathbf {x} }}\left|\psi \right\rangle }$

En réalisation P, cela s'écrit :

${\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{x}}}(p_{x}\left|\psi \right\rangle )-i\hbar p_{x}{\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle }$

La dérivée d'un produit ${\displaystyle uv}$ étant ${\displaystyle (uv)'=u'v uv'}$, cela donne :

${\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =i\hbar (({\frac {\partial }{\partial p_{x}}}p_{x})\left|\psi \right\rangle p_{x}{\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle -p_{x}{\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle )}$

${\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =i\hbar (1)\left|\psi \right\rangle =i\hbar \left|\psi \right\rangle }$

La valeur du commutateur de ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ et ${\displaystyle \mathbf {{\hat {p}}_{x}} }$ est donc :

${\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]=i\hbar }$

Cette valeur, indépendante de la base, est liée au principe d'incertitude de Heisenberg.

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